Calculate the pressure exerted by 20 g of nitrogen in a closed 1-liter vessel at 25^{\circ} \mathrm{C}, using (a) the ideal-gas equation. Repeat calculation for a vessel of 100 \mathrm{~cm}^{3} volume.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: calcular a pressão exercida por 20\\ \text{g} de nitrogênio no interior de um recipiente fechado, em duas situações de volume:
    1. V=1\\ \text{L}.
    2. V=100\\ \text{cm}^{3} (mesmo que 100\\ \text{cm}^{3}=100\\ \text{mL}=0{,}1\\ \text{L}).
  • Temperatura dada: 25^{\circ}\mathrm{C}. Vou usar a conversão para Kelvin.
  • Massa de nitrogênio: m=20\\ \text{g}.
  • Fórmula a usar (pedida): equação dos gases ideais PV=nRT.
Informações numéricas que vou usar (convertidas ou escolhidas):
  • Massa molar do nitrogênio diatômico \mathrm{N}_2: M=28{,}02\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} (valor padrão).
  • Constante dos gases (em unidades convenientes para litros e atm): R=0{,}082057\\ \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  • Conversão de temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \text{K}.
  • Conversão de volume do segundo caso: 100\\ \text{cm}^{3}=0{,}1\\ \text{L}.

Passo 2

Calcular o número de mols n de \mathrm{N}_2. Explicação do conceito: a massa molar M diz quantos gramas tem 1 mol da substância. Então n=\dfrac{m}{M}.
Cálculo:
n=\frac{m}{M}=\frac{20\\ \text{g}}{28{,}02\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}}.
Agora faço a divisão (mostrando como fazer sem calculadora, aproximando passo a passo):
n\approx 0{,}713775\\ \text{mol}.
(isto é, n\approx0{,}714\\ \text{mol} se quiser arredondar.)

Passo 3

Escrever a equação dos gases ideais e explicar cada termo.
A equação é
PV=nRT,
onde
  • P é a pressão absoluta (unidade a escolher: aqui usarei \text{atm} primeiro);
  • V é o volume (em \text{L} se usar R em \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1});
  • n é o número de mols (calculado no passo anterior);
  • R é a constante dos gases na unidade usada;
  • T é a temperatura em Kelvin.
Para obter P, isolo P:
P=\frac{nRT}{V}.
Vou calcular nRT primeiro, que é a mesma expressão para os dois volumes; depois divido por cada V.
Calcular RT:
R T = 0{,}082057\cdot 298{,}15.
Faço a multiplicação passo a passo:
R T \approx 24{,}4653\\ \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}.
Agora nRT:
nRT \approx 0{,}713775\times 24{,}4653 \approx 17{,}4627\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
(Isto tem a unidade \text{atm}\cdot\text{L}; ao dividir por V em litros obtém-se pressão em \text{atm}.)

Passo 4

Calcular a pressão quando V=1\\ \text{L}.
Usando
P=\frac{nRT}{V}=\frac{17{,}4627\\ \text{atm}\cdot\text{L}}{1\\ \text{L}}=17{,}4627\\ \text{atm}.
Convertendo para unidades mais usuais: 1\\ \text{atm}=101{,}325\\ \text{kPa}.
P=17{,}4627\times 101{,}325\\ \text{kPa}\approx 1769{,}41\\ \text{kPa}.
Também em pascal:
P\approx 1{,}769\times 10^{6}\\ \text{Pa}.
Interpretação rápida (para aliviar o susto): é normal ser uma pressão alta — 20 g de N _2 em apenas 1 L corresponde a uma quantidade de mols grande em relação ao volume.

Passo 5

Calcular a pressão quando V=100\\ \text{cm}^{3}=0{,}1\\ \text{L}.
Como o número de mols e a temperatura não mudam, a pressão escala como 1/V. Então:
P=\frac{nRT}{V}=\frac{17{,}4627\\ \text{atm}\cdot\text{L}}{0{,}1\\ \text{L}}=174{,}627\\ \text{atm}.
Converter para kPa:
P=174{,}627\times 101{,}325\\ \text{kPa}\approx 17{,}694{,}1\\ \text{kPa}.
Em pascal:
P\approx 1{,}7694\times 10^{7}\\ \text{Pa}.
Pequena observação didática: reduzir o volume em fator 10 aumentou a pressão em fator 10, como prevê a lei dos gases ideais quando n e T são constantes.

Resposta

Para V=1\\ \text{L}:\\ P\approx 17{,}4627\\ \text{atm}\approx 1769{,}41\\ \text{kPa}.\nPara \(V=100\\ \text{cm}^{3}=0{,}1\\ \text{L}:\\ P\approx 174{,}627\\ \text{atm}\approx 17\,694{,}1\\ \text{kPa}.)

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