A kilogram of ethylene is compressed from
to
at a constant temperature of 300 K . Calculate the minimum work that must be expended, assuming that the gas is (b) van der Waals.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar TUDO claramente):
- Massa de etileno:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - Temperatura constante:
. - Pede: trabalho mínimo que deve ser despendido para comprimir o gás assumindo que ele obedece a equação de van der Waals.
Informações que vou precisar e que já estão implícitas:
- Vou precisar do número de mols
do etileno para usar a equação de van der Waals na forma com mols. - A equação de van der Waals para
mols e volume total é
onde
e
são as constantes de van der Waals (características do gás),
é a constante universal dos gases e
a temperatura.
- O enunciado NÃO fornece os valores de
e ; portanto, tanto a expressão analítica do trabalho quanto a verificação da aplicabilidade do modelo serão necessárias para concluir se é possível calcular um valor numérico com os dados dados.
Passo 2
Determinar o número de mols
do etileno (passo mecânico necessário).
- A massa molar do etileno (fórmula
) é aproximadamente . Vou usar . - Converter para kg/mol:
. - O número de mols é
Calculemos:
Explicação curta: isso significa que nessa massa há cerca de
mols de moléculas de etileno; em seguida trabalhamos com volumes totais
no enunciado.
Passo 3
Qual é a expressão do trabalho reversível (mínimo) para compressão isotérmica de um gás que obedece van der Waals?
- Em um processo isotérmico e reversível o trabalho que o gás realiza (o sinal de
convencionalmente é trabalho feito PELO gás) é - Substituindo
da van der Waals para mols:
Agora integramos termo a termo (faço cada integral devagar, como você pediu):
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
Portanto o trabalho feito PELO gás é
Mas a pergunta pediu o trabalho MÍNIMO que deve ser EXPENDIDO (isto é, trabalho que deve ser fornecido ao sistema). O trabalho feito SOBRE o gás (trabalho de compressão) é o negativo do trabalho feito pelo gás. Assim o trabalho mínimo a fornecer (energia que o agente externo precisa despender, positivo) é
Observação didática sobre sinais e interpretação:
- O termo com
vem da parte “tipo ideal” corrigida pelo volume excluído . - O termo com
aparece com sinal negativo no , mostrando que as forças atrativas (representadas por ) reduzem a pressão real e, portanto, reduzem o trabalho que precisa ser fornecido (essa é a intuição física).
Passo 4
Condição de aplicabilidade do resultado (parte importantíssima e que muitas vezes aparece nas provas): o logaritmo e a equação de van der Waals exigem
durante toda integração.
- Para a integral ser válida como escrita é necessário que tanto
quanto . Em termos práticos isto significa que o volume total nunca pode ser menor ou igual a , porque aparece no denominador da equação de van der Waals e dentro do logaritmo. - Se em algum ponto
, a forma da equação de van der Waals para gás real se torna singular e, na prática, a substância já teria passado por condensação (formação de líquido) — não é mais um gasinho descrito por essa forma simples ao longo de todo o processo. Nesse caso é obrigatória a consideração de equilíbrio de fases (líquido+vapor) e a conta do trabalho mínimo precisa incluir aspecto da mudança de fase: não dá para usar simplesmente a expressão acima para obter um número físico.
Passo 5
Verificação numérica da condição
para os dados do problema.
- Calculamos
no Passo 2. - Qual é o valor crítico de
que permitiria ? Basta resolver , ou seja . - Calculemos o valor limite:
Em unidades mais familiares,
(ou
).
Interpretação: para que a equação de van der Waals seja usada diretamente e a fórmula do Passo 3 dê um número físico, o parâmetro
do etileno teria de ser menor que cerca de
.
Passo 6
Comparação com o que se sabe sobre
(interpretação física que resolve a questão).
- O parâmetro
é o volume excluído por mol e, para moléculas pequenas (H2, CH4, etc.), os valores típicos de estão na faixa de algumas dezenas de (isto é, a ). Mesmo sem consultar uma tabela, é razoável e padrão afirmar que para uma molécula do porte do etileno ( ) o valor de é da ordem de a , ou seja, dezenas de . - Como
que encontramos é apenas , um valor de realista para etileno será muito maior do que . Consequência direta: para compressão de para é virtualmente certo que e portanto a condição NÃO é satisfeita durante todo o processo. - Em palavras simples: comprimir 1 kg de etileno até
a força o sistema a densidades tão grandes que a substância deixaria de ser um gás único e passaria por condensação (formação de líquido). O modelo van der Waals na forma usada para um gás puro ao longo de todo o processo não é aplicável.
Passo 7
Conclusão sobre a possibilidade de obter um valor numérico usando van der Waals e o que fazer.
- A expressão analítica para o trabalho mínimo é, lembrando,
- Contudo, para os valores do enunciado a integral usada para obter essa expressão envolve
com que é, na prática, não positiva para qualquer valor plausível de de etileno. Logo a expressão acima não pode ser usada para calcular um número físico para o trabalho mínimo: o processo passaria por condensação e a conta correta exigiria tratar a transformação como um processo com mudança de fase (determinar pressões de vapor, frações de fase, trabalho durante compressão em duas fases, etc.). Esses dados (pressão de vapor a 300 K, entalpias/energias de vaporização etc.) não foram fornecidos no enunciado. - Portanto NÃO é correto simplesmente inserir valores de
e e obter um número: a hipótese “gás descrito pela forma van der Waals para todo o processo” é violada.
Resposta
Não é possível obter um valor numérico físico a partir desta fórmula para os dados fornecidos, porque para qualquer valor realista de