Escolha somente um dos itens abaixo para resolver:
Determine o valor do comprimento da curva
entre
e
.
Determine o valor do comprimento da curva
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o comprimento da curva definida pela equação
no intervalo de
onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para expressar
como uma função de
. Sabemos que
, então podemos tirar a raiz positiva:
Isso nos dá
em termos de
, o que é necessário para aplicar a fórmula do comprimento da curva.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos calcular:
Passo 4
A fórmula para o comprimento da curva de
a
é:
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos.
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, fazemos a substituição:
A integral se torna:
Passo 7
Calculando a integral:
Agora, substituímos
:
Passo 8
Finalmente, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente
unidades.