Escolha somente um dos itens abaixo para resolver:
Determine o valor do comprimento da curva y^2=4(x+1)^3 entre 0 <= x <= 1 e y>0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o comprimento da curva definida pela equação y^2 = 4(x+1)^3 no intervalo de 0 <= x <= 1 onde y > 0 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para expressar y como uma função de x . Sabemos que y > 0 , então podemos tirar a raiz positiva:
y = 2(x + 1)^32
Isso nos dá y em termos de x , o que é necessário para aplicar a fórmula do comprimento da curva.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Vamos calcular:
dydx = ddx [ 2(x + 1)^32 ] = 2 cdot 32(x + 1)^12 = 3(x + 1)^12

Passo 4

A fórmula para o comprimento da curva de x = a a x = b é:
L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos.

Passo 5

Substituindo dydx na fórmula, temos:
L = integral0^1 raiz1 + ( 3(x + 1)^12 )^2 , dx = integral0^1 raiz1 + 9(x + 1) , dx = integral0^1 raiz9x + 10 , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral raiz9x + 10 , dx . Para isso, fazemos a substituição:
u = 9x + 10
du = 9 , dx
dx = du9
A integral se torna:
integral raizu cdot du9 = 19 integral u^12 , du

Passo 7

Calculando a integral:
19 cdot 23 u^32 + C = 227 u^32 + C
Agora, substituímos u = 9x + 10 :
227 (9x + 10)^32

Passo 8

Finalmente, avaliamos a integral definida de x = 0 a x = 1 :
L = 227 [ (9(1) + 10)^32 - (9(0) + 10)^32 ] = 227 [ 19^32 - 10^32 ]
Calculando os valores:
19^32 = raiz19^3 approx 82.192
10^32 = raiz10^3 approx 31.622
Então:
L approx 227 (82.192 - 31.622) = 227 times 50.57 approx 3.75

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 3,75 unidades.

Exercícios relacionados