Determine se a seguinte função é contínua em (0,0) :
f(x, y)=lll x^2 y^32 x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício! A gente precisa determinar se a função f(x, y) é contínua no ponto (0,0). Isso envolve entender o que é continuidade e como verificar se a função não tem “saltos” ou “quebras” nesse ponto. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de limite em várias variáveis e como calcular esse limite para diferentes caminhos que chegam a (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em (0,0). A função f(x, y) é contínua nesse ponto se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) for igual ao valor da função em (0,0). Ou seja:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 1
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e ver se ele realmente é igual a 1.

Passo 3

Vamos então calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função é dada por:
f(x, y) = x^2 y^32 x^2 + y^2 para (x, y) neq (0,0)
Para encontrar esse limite, é útil tentar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar a (0,0). Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então existe e é esse o valor. Se for diferente, a função não é contínua naquele ponto.

Passo 4

Vamos começar testando o caminho onde y = 0 . Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x^2 cdot 0^32x^2 + 0^2 = 02x^2 = 0
Então, ao se aproximar de (0,0) ao longo do eixo x , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos testar o caminho onde x = 0 . Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0^2 cdot y^32 cdot 0^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Portanto, ao se aproximar de (0,0) ao longo do eixo y , o limite também é 0.

Passo 6

Vamos tentar um caminho mais geral, onde y = kx , com k sendo uma constante. Substituindo y = kx na função:
f(x, kx) = x^2 (kx)^32x^2 + (kx)^2 = x^2 k^3 x^32x^2 + k^2 x^2 = k^3 x^5x^2(2 + k^2) = k^3 x^32 + k^2
Agora, calculando o limite quando x tende a 0:
limx to 0 k^3 x^32 + k^2 = 0
Assim, para qualquer valor de k , o limite é 0.

Passo 7

Para termos certeza, vamos testar um caminho não linear, por exemplo, y = x^n , onde n é um número positivo. Substituindo y = x^n na função:
f(x, x^n) = x^2 (x^n)^32x^2 + (x^n)^2 = x^2 x^3n2x^2 + x^2n = x^2 + 3nx^2(2 + x^2n - 2) = x^3n2 + x^2n - 2
Quando x tende a 0, o numerador x^3n tende a 0 e o denominador tende a 2, então todo o quociente tende a 0.

Passo 8

Observamos que, para todos os caminhos que testamos, o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0. Porém, o valor da função em (0,0) é 1. Como o limite é diferente do valor da função nesse ponto, podemos concluir que a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f(x, y) não é contínua no ponto (0,0).

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