Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y,
sendo f(x, y)=1, A=(x, y) in R^2 mid 4 x^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaAf(x,y),dx,dy,
com f(x,y)=1 e
A=(x,y)inR^2mid 4x^2+y^2<=1
Isso equivale a encontrar a área da região elíptica dada por 4x^2+y^2<=1. Vamos usar uma mudança de variáveis que transforme essa elipse num disco unitário.

Passo 2

Definimos as variáveis
u=2x, v=y,
de modo que a condição 4x^2+y^2<=1 vira
u^2+v^2<=1
Precisamos também do Jacobiano da transformação (x,y)mapsto(u,v). Como x=u/2 e y=v, temos
dx,dy = l|detpartial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial vr|,du,dv = l|det1/2 & 0 0 & 1r|,du,dv =12,du,dv

Passo 3

Na nova variável, f(x,y)=1 continua sendo 1, então
integral duplaA1,dx,dy =integral duplau^2+v^2<=11cdot12,du,dv =12integral duplau^2+v^2<=1du,dv
Mas a integral de du,dv sobre o disco unitário é a área do disco, que vale pi. Logo
integral duplaA1,dx,dy =12cdotpi =pi2

Resposta

pi2

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