Resolva, via TF, a edo do oscilador harmônico amortecido
d^2 yd t^2+k d yd t+omega0^2 y=g(t)
onde k e omega0^2 são constantes tais que omega0^2>k^2 / 4.

Passo 1

Vamos resolver a equação y''+k y'+omega0^2 y=g(t) usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace de derivadas, a definição de função de transferência e o teorema da convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que Ly'(t)=sY(s)-y(0) e Ly''(t)=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0). Fazendo isso, obtemos:
s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)+kl(sY(s)-y(0)r)+omega0^2Y(s)=G(s)

Passo 3

Isolamos Y(s) e identificamos a função de transferência H(s). Reunindo os termos:
l(s^2+k s+omega0^2r)Y(s)=G(s)+s y(0)+y'(0)+k y(0) Portanto,
Y(s)=s y(0)+y'(0)+k y(0)s^2+k s+omega0^2+G(s)s^2+k s+omega0^2, onde H(s)=1/(s^2+k s+omega0^2). O primeiro termo gera a resposta natural e o segundo a resposta forçada.

Passo 4

Para a resposta natural, fazemos a inversa de s y(0)+y'(0)+k y(0)s^2+k s+omega0^2. Definindo omegad=raizomega0^2-tfrack^24, obtemos
yh(t)=e^-tfrack2tl[y(0)cos(omegad t)+y'(0)+tfrack2y(0)omegadsin(omegad t)r]

Passo 5

Para a resposta forçada, aplicamos o teorema da convolução ao termo G(s)/D(s). O pulso de resposta ao impulso é
h(t)= L^-1H(s)=e^-tfrack2tomegadsin(omegad t) Logo a resposta particular é
yp(t)=integral0^t h(t-tau),g(tau),dtau =integral0^t e^-tfrack2(t-tau)omegadsinl(omegad(t-tau)r)g(tau),dtau

Resposta

A solução geral é
y(t)=e^-tfrack2tl[y(0)cos(omegad t)+y'(0)+tfrack2y(0)omegadsin(omegad t)r] +integral0^te^-tfrack2(t-tau)omegadsinl(omegad(t-tau)r)g(tau),dtau,
onde omegad=raizomega0^2-tfrack^24.

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