Calcule integral triplaW y d V, onde W é a região limitada pelos planos z=0, z=x+y+5 e pelos cilíndros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaW y , dV, onde a região W é limitada pelos planos z = 0, z = x + y + 5 e pelos cilindros x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 9.
Aqui, a matéria envolve cálculo de integrais triplas e mudança para coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução devido à simetria dos cilindros. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque temos cilindros no problema, o que simplifica bastante. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são:
  • r: distância ao eixo z
  • theta: ângulo em torno do eixo z
  • z: altura, igual nas coordenadas cartesianas
As relações são:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z

Passo 3

Agora, vamos expressar as equações que delimitam a região W em coordenadas cilíndricas:
  1. Planos:
    • z = 0 continua sendo z = 0
    • z = x + y + 5 vira:
z = r costheta + r sintheta + 5 = r(costheta + sintheta) + 5
  1. Cilindros:
    • x^2 + y^2 = 4 se torna r^2 = 4 Rightarrow r = 2
    • x^2 + y^2 = 9 se torna r^2 = 9 Rightarrow r = 3

Passo 4

O próximo passo é determinar os limites de integração para r, theta e z:
  • Para r: varia de 2 a 3 (entre os dois cilindros)
  • Para theta: como não há restrição angular, varia de 0 a 2pi
  • Para z: varia de 0 até r(costheta + sintheta) + 5

Passo 5

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r , dz , dr , dtheta. Então, a integral fica:
integral triplaW y , dV = integral0^2pi integral2^3 integral0^r(costheta + sintheta) + 5 (r sintheta) cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral2^3 integral0^r(costheta + sintheta) + 5 r^2 sintheta , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^r(costheta + sintheta) + 5 r^2 sintheta , dz = r^2 sintheta cdot [ z ]0^r(costheta + sintheta) + 5 = r^2 sintheta cdot ( r(costheta + sintheta) + 5 )
Agora, nossa integral fica:
integral0^2pi integral2^3 r^2 sintheta ( r(costheta + sintheta) + 5 ) , dr , dtheta
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
r^2 sintheta cdot r costheta + r^2 sintheta cdot r sintheta + r^2 sintheta cdot 5 = r^3 sintheta costheta + r^3 sin^2theta + 5 r^2 sintheta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral2^3 ( r^3 sintheta costheta + r^3 sin^2theta + 5 r^2 sintheta ) , dr , dtheta
Vamos separar em três integrais:
I = integral0^2pi integral2^3 r^3 sintheta costheta , dr , dtheta + integral0^2pi integral2^3 r^3 sin^2theta , dr , dtheta + 5 integral0^2pi integral2^3 r^2 sintheta , dr , dtheta
Agora, vamos analisar cada integral individualmente.
  1. Primeira Integral:
I1 = integral0^2pi sintheta costheta , dtheta cdot integral2^3 r^3 , dr
Sabemos que integral0^2pi sintheta costheta , dtheta = 0, pois a função é ímpar em relação a pi. Portanto, I1 = 0.
  1. Segunda Integral:
I2 = integral0^2pi sin^2theta , dtheta cdot integral2^3 r^3 , dr
Calculando as integrais:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
integral2^3 r^3 , dr = [ r^44 ]2^3 = 814 - 164 = 654
Então, I2 = pi cdot 654 = 65pi4.
  1. Terceira Integral:
I3 = 5 integral0^2pi sintheta , dtheta cdot integral2^3 r^2 , dr
Sabemos que integral0^2pi sintheta , dtheta = 0, então I3 = 0.

Resposta

Somando todas as integrais, temos:
integral triplaW y , dV = I1 + I2 + I3 = 0 + 65pi4 + 0 = 65pi4
Então, a resposta final é:
integral triplaW y , dV = 65pi4

Exercícios relacionados