Calcule
, onde
é a região limitada pelos planos
e pelos cilíndros
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelos planos
,
e pelos cilindros
e
.
Aqui, a matéria envolve cálculo de integrais triplas e mudança para coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução devido à simetria dos cilindros. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque temos cilindros no problema, o que simplifica bastante. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são:
-
: distância ao eixo -
: ângulo em torno do eixo -
: altura, igual nas coordenadas cartesianas
As relações são:
Passo 3
Agora, vamos expressar as equações que delimitam a região
em coordenadas cilíndricas:
- Planos:
-
continua sendo -
vira:
-
- Cilindros:
-
se torna -
se torna
-
Passo 4
O próximo passo é determinar os limites de integração para
,
e
:
- Para
: varia de 2 a 3 (entre os dois cilindros) - Para
: como não há restrição angular, varia de 0 a - Para
: varia de 0 até
Passo 5
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
. Então, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos separar em três integrais:
Agora, vamos analisar cada integral individualmente.
- Primeira Integral:
Sabemos que
, pois a função é ímpar em relação a
. Portanto,
.
- Segunda Integral:
Calculando as integrais:
Então,
.
- Terceira Integral:
Sabemos que
, então
.
Resposta
Somando todas as integrais, temos:
Então, a resposta final é: