Resolva phix x=1c^2 phit t (EO) via TF, considerando a condição inicial phi(x, 0)=f(x), onde f(x) 0 quando x pm infty.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação de onda unidimensional
phixx=1c^2,phitt
com a condição inicial phi(x,0)=f(x) e f(x)to0 quando xtopminfty. Vamos usar transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma equação ordinária em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x
Phi(k,t)=integral-infty^inftyphi(x,t)e^-ikx,dx
e usamos que
F[phixx]=-(k^2),Phi(k,t), F[phitt]=partial^2tPhi(k,t)

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier na PDE obtemos a EDO
-(k^2),Phi(k,t)=1c^2,partial^2tPhi(k,t)
ou seja
partial^2tPhi(k,t)+c^2k^2,Phi(k,t)=0

Passo 4

A equação acima é uma EDO harmônica de solução geral
Phi(k,t)=A(k)cos(c k t)+B(k)sin(c k t)

Passo 5

Em t=0 temos
Phi(k,0)=F(k)=A(k),
e, assumindo velocidade inicial zero phit(x,0)=0,
partialtPhi(k,0)=c k,B(k)=0 Rightarrow B(k)=0

Passo 6

Fazendo a transformada inversa
phi(x,t)=12piintegral-infty^inftyF(k)cos(c k t)e^ikx,dk
e reconhecendo que essa integral reproduz a solução de d’Alembert, chegamos a

Passo 7

O enunciado pediu só a condição phi(x,0)=f(x). Se considerarmos também phit(x,0)=0, a solução fica

Passo 8

Nd

Resposta

phi(x,t)=tfrac12l[f(x-ct)+f(x+ct)r].

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