Resolva
(EO) via TF, considerando a condição inicial
, onde
quando
.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação de onda unidimensional
com a condição inicial
e
quando
. Vamos usar transformada de Fourier em
para reduzir a PDE a uma equação ordinária em
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
e usamos que
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier na PDE obtemos a EDO
ou seja
Passo 4
A equação acima é uma EDO harmônica de solução geral
Passo 5
Em
temos
e, assumindo velocidade inicial zero
,
Passo 6
Fazendo a transformada inversa
e reconhecendo que essa integral reproduz a solução de d’Alembert, chegamos a
Passo 7
O enunciado pediu só a condição
. Se considerarmos também
, a solução fica
Passo 8
Nd