Calcule
integral log 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de log3 x , dx. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial e Integral, especificamente o tema de integração de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades dos logaritmos e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de logb x pode ser um pouco complicada diretamente. Então, vamos utilizar a mudança de base dos logaritmos para facilitar. A fórmula da mudança de base é:
logb x = ln xln b
Onde ln é o logaritmo natural, com base e. Aplicando isso na nossa integral, temos:
integral log3 x , dx = integral ln xln 3 , dx

Passo 3

Agora, perceba que 1ln 3 é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
integral ln xln 3 , dx = 1ln 3 integral ln x , dx

Passo 4

A próxima etapa é calcular a integral de ln x , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = ln x \quad (assim, du = 1x dx)
  • dv = dx \quad (assim, v = x)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x dx = integral 1 , dx = x
Então:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
1ln 3 integral ln x , dx = 1ln 3 (x ln x - x) + C
Podemos fatorar x:
x (ln x - 1)ln 3 + C

Resposta

Portanto, a integral de log3 x , dx é:
integral log3 x , dx = x (ln x - 1)ln 3 + C

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