Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial e Integral, especificamente o tema de integração de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades dos logaritmos e a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de
pode ser um pouco complicada diretamente. Então, vamos utilizar a mudança de base dos logaritmos para facilitar. A fórmula da mudança de base é:
Onde
é o logaritmo natural, com base
. Aplicando isso na nossa integral, temos:
Passo 3
Agora, perceba que
é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
Passo 4
A próxima etapa é calcular a integral de
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
-
\quad (assim, ) -
\quad (assim, )
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Podemos fatorar
:
Resposta
Portanto, a integral de
é: