Calcule a área de superficie gerada pela rotação, em torno do eixo
, da curva
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que forma quando a curva
é girada em torno do eixo
, para valores de
entre 1 e 2. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo
. A fórmula é:
Aqui,
e
são os limites de
(no nosso caso, 1 e 2),
é a derivada da função
em relação a
, e
é a constante matemática Pi.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Nossa função é
, então:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula dentro da raiz quadrada:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da área, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar
, então:
Substituindo na integral:
Integrando
:
Voltando para
:
Agora, aplicamos os limites de 1 a 2:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
, para
, é: