Calcule a área de superficie gerada pela rotação, em torno do eixo y, da curva y=x^2, com 1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que forma quando a curva y = x^2 é girada em torno do eixo y , para valores de x entre 1 e 2. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo y . A fórmula é:
A = 2pi integrala^b x raiz1 + (dydx)^2 , dx
Aqui, a e b são os limites de x (no nosso caso, 1 e 2), dydx é a derivada da função y em relação a x , e pi é a constante matemática Pi.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de y em relação a x . Nossa função é y = x^2 , então:
dydx = 2x

Passo 4

Agora, substituímos dydx na fórmula dentro da raiz quadrada:
1 + (dydx)^2 = 1 + (2x)^2 = 1 + 4x^2

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da área, temos:
A = 2pi integral1^2 x raiz1 + 4x^2 , dx
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver a integral integral x raiz1 + 4x^2 , dx , vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar u = 1 + 4x^2 , então:
dudx = 8x Rightarrow dx = du8x
Substituindo na integral:
integral x raizu cdot du8x = 18 integral raizu , du
Integrando raizu :
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Voltando para x :
112 (1 + 4x^2)^3/2
Agora, aplicamos os limites de 1 a 2:
A = 2pi [ 112 (1 + 4(2)^2)^3/2 - 112 (1 + 4(1)^2)^3/2 ]
Calculando os valores:
1 + 4(2)^2 = 1 + 16 = 17 Rightarrow 17^3/2 = 17 raiz17
1 + 4(1)^2 = 1 + 4 = 5 Rightarrow 5^3/2 = 5 raiz5
Então:
A = 2pi [ 17 raiz1712 - 5 raiz512 ] = 2pi cdot 17 raiz17 - 5 raiz512

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva y = x^2 em torno do eixo y , para 1 <= x <= 2 , é:
A = pi (17 raiz17 - 5 raiz5)6

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