Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(i) lim x infty raizx^2+1-raizx^2+x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxtoinfty l(raizx^2+1-raizx^2+xr). O conteúdo é cálculo de limite de expressão do tipo infty-infty envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos usar a racionalização pelo conjugado. O domínio de f(x)=raizx^2+1-raizx^2+x é dado por x^2+x>=0, ou seja xin(-infty,-1]cup[0,infty). Como vamos em xtoinfty, estamos na parte do domínio válida.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação do tipo infty-infty, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
raizx^2+1-raizx^2+x=l(raizx^2+1-raizx^2+xr)l(raizx^2+1+raizx^2+xr)raizx^2+1+raizx^2+x
No numerador temos a diferença de quadrados:
(x^2+1)-(x^2+x)=1-x
Logo a expressão fica
1-xraizx^2+1+raizx^2+x

Passo 3

Para ver o comportamento quando xtoinfty, fatoramos x dentro das raízes e colocamos em evidência no numerador:
1-xraizx^2+1+raizx^2+x=-xl(1-1/xr)xl(raiz1+1/x^2+raiz1+1/xr)
Cancelando x e tomando o limite:
limxtoinfty-(1-1/x)raiz1+1/x^2+raiz1+1/x=-11+1= -tfrac12

Resposta

-1/2

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