Calcule:
integral0^4 integralraizy^2 yraiz1+x^5 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^4integralraizy^2yraiz1+x^5,dx,dy
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração e em seguida aplicar uma substituição na integral resultante.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração D no plano xy:
D = (x,y)mid 0<= y<=4,;raizy<= x<=2
Ao esboçar esta região, percebemos que ela também pode ser descrita como
0<= x<=2, 0<= y<= x^2
Pelo Teorema de Fubini,
integral0^4integralraizy^2yraiz1+x^5,dx,dy = integral0^2integral0^x^2yraiz1+x^5,dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integral0^x^2y,dy =y^22|0^x^2 =x^42
Logo a integral fica
integral0^21raiz1+x^5cdotx^42,dx =12integral0^2x^4raiz1+x^5,dx

Passo 4

Para resolver
12integral0^2x^4raiz1+x^5,dx,
fazemos a substituição u=1+x^5, logo du=5x^4,dx e x^4,dx=du5. Quando x=0, u=1; quando x=2, u=1+2^5=33. Assim,
12integral0^2x^4raiz1+x^5,dx =12integral1^331raizucdotdu5 =110integral1^33u^-tfrac12,du
Como
integral u^-tfrac12,du =2u^tfrac12,
temos
110l[2u^tfrac12r]1^33 =15l(raiz33-1r)

Resposta

raiz33-15

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