Calcule:
integral0^1 integraly^raizy sen xx d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integraly^raizysin xx,dx,dy
O conteúdo principal é a troca de ordem de integração em integrais iteradas (Teorema de Fubini) e, em seguida, a resolução de integrais de funções elementares.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração
R=(y,x)mid 0<= y<=1,;y<= x<=raizy
Na reta, as condições y<= x<= raizy equivalem a
y<= x Long<=ftrightarrow y<= x,
x<= raizy Long<=ftrightarrow y>= x^2
Logo, para cada x em [0,1], y varia de x^2 até x. Invertendo a ordem, a integral vira
integral0^1integralx^2^xsin xx,dy,dx

Passo 3

Como o integrando sin xx não depende de y, a integração em y produz
integral0^1sin xxl(x - x^2r),dx =integral0^1l(sin x - xsin xr),dx

Passo 4

Separamos em duas integrais:
I1=integral0^1sin x,dx, I2=integral0^1xsin x,dx
Para I1,
I1 = l[-cos xr]0^1 =1-cos 1
Para I2, usamos integração por partes com
u=x,;dv=sin x,dx:
u=x, dv=sin x,dx Longrightarrow du=dx, v=-cos x
Então
I2 = l-xcos xr|0^1 + integral0^1cos x,dx = l(-1cdotcos 1 - 0r) + l[sin xr]0^1 = -cos 1 + sin 1

Passo 5

Voltando à integral original,
integral0^1l(sin x - xsin xr),dx = I1 - I2 = l(1-cos 1r) - l(-cos 1 + sin 1r) =1-sin 1

Resposta

1 - sin 1

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