Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo e mostre que estes são ou máximos ou mínimos relativos
f(x)=x^3-3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função f(x)=x^3-3x+1 e mostrar se são máximos ou mínimos relativos. O conteúdo envolvido é derivação, busca de pontos onde a derivada se anula e classificação usando a segunda derivada.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira f'(x) e encontrar os pontos em que ela é zero. Primeiro,
f'(x)=ddx(x^3-3x+1)=3x^2-3=3(x^2-1)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
3(x^2-1)=0implies x^2-1=0implies x=pm1

Passo 4

Agora, usamos a segunda derivada f''(x) para classificar cada ponto. Primeiro calculamos
f''(x)=ddx(3x^2-3)=6x

Passo 5

Em x=-1 temos f''(-1)=6cdot(-1)=-6<0, indicando um máximo relativo. Em x=1 temos f''(1)=6>0, indicando um mínimo relativo.

Passo 6

Por fim, avaliamos f nesses pontos para obter as coordenadas: f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3 e , máximo relativo, e f(1)=1-3+1=-1 Portanto, os pontos críticos são ((-1,3), mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos são (-1,3), que é máximo relativo, e (1,-1), que é mínimo relativo.

Exercícios relacionados