Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo e mostre que estes são ou máximos ou mínimos relativos
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos da função l(x)=1+8x−3x² e classificar cada ponto como máximo ou mínimo relativo. O conteúdo envolvido é derivadas de funções polinomiais e o teste da segunda derivada para classificação de extremos.
Passo 2
Para encontrar pontos críticos, calculamos a derivada primeira da função. A derivada de l(x) é dada por
Passo 3
Definimos pontos críticos como aqueles em que l’(x)=0 ou l’ não existe. Aqui l’(x) existe para todo x, então resolvemos
Passo 4
Para classificar esse ponto, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos
Como l’’(4/3)=−6<0, a concavidade é para baixo, indicando um máximo relativo. O valor da função nesse ponto é
Passo 5
Portanto, o único ponto crítico é x=4/3, e é um máximo relativo da função, ocorrendo em
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Resposta
O único ponto crítico é x=4/3, com l(4/3)=19/3, e corresponde a um máximo relativo.