Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo e mostre que estes são ou máximos ou mínimos relativos
l(x)=1+8 x-3 x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função l(x)=1+8x−3x² e classificar cada ponto como máximo ou mínimo relativo. O conteúdo envolvido é derivadas de funções polinomiais e o teste da segunda derivada para classificação de extremos.

Passo 2

Para encontrar pontos críticos, calculamos a derivada primeira da função. A derivada de l(x) é dada por
l'(x)=ddxl(1+8x-3x^2r)=8-6x

Passo 3

Definimos pontos críticos como aqueles em que l’(x)=0 ou l’ não existe. Aqui l’(x) existe para todo x, então resolvemos
8-6x=0Rightarrow x=86=43

Passo 4

Para classificar esse ponto, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos
l''(x)=ddx(8-6x)=-6
Como l’’(4/3)=−6<0, a concavidade é para baixo, indicando um máximo relativo. O valor da função nesse ponto é
ll(tfrac43r)=1+8cdot43-3l(43r)^2=1+323-163=193

Passo 5

Portanto, o único ponto crítico é x=4/3, e é um máximo relativo da função, ocorrendo em (,4/3,,19/3).

Resposta

O único ponto crítico é x=4/3, com l(4/3)=19/3, e corresponde a um máximo relativo.

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