Calcule
lim x pi2(sen x)^1cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
lim x pi2 (sin x)^1cos x
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento das funções seno e cosseno perto de pi2 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com sin x e cos x quando x se aproxima de pi2 :
  • sin(pi2) = 1
  • cos(pi2) = 0
Então, o limite fica na forma 1^infty , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos usar uma técnica específica para resolver.

Passo 3

Para resolver limites da forma 1^infty , usamos o seguinte truque:
limx to a f(x)^g(x) = e^limx to a (f(x) - 1) cdot g(x)
Aplicando isso ao nosso caso:
lim x pi2 (sin x)^1cos x = e^lim x pi2 (sin x - 1) cdot 1cos x

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite no expoente:
lim x pi2 sin x - 1cos x
Substituindo x = pi2 , temos 0/0 , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, usamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de sin x - 1 é cos x
  • Derivada de cos x é -sin x
Então, o limite se torna:
lim x pi2 cos x-sin x = lim x pi2 -cos xsin x

Passo 6

Agora, avaliamos o limite:
  • sin(pi2) = 1
  • cos(pi2) = 0
Portanto:
-01 = 0

Resposta

Substituindo de volta, temos:
lim x pi2 (sin x)^1cos x = e^0 = 1
Resposta final: 1

Exercícios relacionados