Considere a função f(x)=0,4 cdot e^-x^22.
Identifique o extremo desta função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=0,4 ,e^-tfracx^22
e pede para identificar o extremo dessa função. Trata-se de encontrar pontos críticos usando derivadas e depois classificá-los (máximo ou mínimo).

Passo 2

Calculemos a derivada de f usando a regra do produto e a regra da cadeia. Como 0,4 é constante,
f'(x) =0,4cdotddxl(e^-tfracx^22r) =0,4cdot e^-tfracx^22cdotl(-xr) =-0,4,x,e^-tfracx^22

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
-0,4,x,e^-tfracx^22=0
Como e^-tfracx^22>0 para todo x, a única solução é
x=0

Passo 4

Classificamos o ponto x=0 pela segunda derivada. Vamos primeiro obter f''(x):
f''(x) =ddxl(-0,4,x,e^-tfracx^22r) =-0,4,e^-tfracx^22 -0,4,xcdotl(-x,e^-tfracx^22r) =l(-0,4 +0,4,x^2r)e^-tfracx^22
Em x=0 isso vale
f''(0)=l(-0,4+0r),e^0=-0,4<0,
logo f tem um máximo em x=0.

Resposta

A função atinge um máximo em x=0, cujo valor é
f(0)=0,4cdot e^0=0,4

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