Calcule os seguintes limites
(l) lim x 0 e^x^2-1x

Passo 1

Beleza, a gente tem o limite limx 0 e^x^2 - 1x. Vamos resolver isso usando conceitos de limites e, quando necessário, a Regra de L’Hôpital. Pra isso, precisamos entender como as funções se comportam quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 0 na expressão para ver o que acontece:
e^0^2 - 10 = e^0 - 10 = 1 - 10 = 00
Agora, percebemos que temos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada 00, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que:
limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x)
desde que os limites dos numerador e denominador existam e o denominador derivado não seja zero.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador e^x^2 - 1:
ddx(e^x^2) = e^x^2 cdot 2x (usando a regra da cadeia)
Então, f'(x) = 2x e^x^2.
  • Derivada do denominador x:
ddx(x) = 1
Então, g'(x) = 1.

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite fica:
limx 0 2x e^x^21 = limx 0 2x e^x^2
Vamos substituir x = 0 nessa nova expressão:
2 cdot 0 cdot e^0^2 = 0 cdot 1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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