Uma empresa estima que, se x milhares de reais forem investidos na comercialização de um certo produto, S unidades serão vendidas. O modelo matemático que relaciona sexé S=-x^3+33 x^2+60 x+1000.
Calcule o ponto de inflexão de S e descreva o seu significado econômico.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção de vendas em função do investimento x (em milhares de reais):
S(x) = -x^3 + 33x^2 + 60x + 1000
Pede-se o ponto de inflexão de S, isto é, onde a concavidade da curva muda. Para isso vamos usar derivadas primeiras e segundas.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivada de S:
S'(x) = ddxl(-x^3 + 33x^2 + 60x + 1000r) = -3x^2 + 66x + 60,
S''(x) = ddxl(-3x^2 + 66x + 60r) = -6x + 66

Passo 3

O ponto de inflexão ocorre quando S''(x)=0. Então:
-6x + 66 = 0 Longrightarrow x = 11

Passo 4

Para saber as coordenadas do ponto de inflexão, avaliamos S(11):
S(11) = -11^3 + 33cdot11^2 + 60cdot11 + 1000 = -1331 + 3993 + 660 + 1000 = 4322
Além disso, para x<11, S''(x)>0 (concavidade para cima), e para x>11, S''(x)<0 (concavidade para baixo), confirmando a mudança de concavidade em x=11.

Passo 5

Economicamente, esse ponto de inflexão indica o nível de investimento (R$ 11000) em que os retornos marginais em vendas passam de crescentes para decrescentes. Ou seja, até esse investimento cada milhar adicional aplicado gera um efeito cada vez maior nas vendas; acima dele, cada milhar extra traz ganho de vendas, mas em ritmo decrescente.

Resposta

O ponto de inflexão de S ocorre em x=11 (milhares de reais), com S(11)=4322 unidades vendidas. Economicamente, é o investimento a partir do qual os retornos marginais em vendas começam a diminuir.

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