Uma empresa estima que, se x milhares de reais forem investidos na comercialização de um certo produto,
unidades serão vendidas. O modelo matemático que relaciona sexé
.
Calcule o ponto de inflexão de
e descreva o seu significado econômico.
Calcule o ponto de inflexão de
Passo 1
O enunciado dá a função de produção de vendas em função do investimento
(em milhares de reais):
Pede-se o ponto de inflexão de
, isto é, onde a concavidade da curva muda. Para isso vamos usar derivadas primeiras e segundas.
Passo 2
Calculemos a primeira e a segunda derivada de
:
Passo 3
O ponto de inflexão ocorre quando
. Então:
Passo 4
Para saber as coordenadas do ponto de inflexão, avaliamos
:
Além disso, para
,
(concavidade para cima), e para
,
(concavidade para baixo), confirmando a mudança de concavidade em
.
Passo 5
Economicamente, esse ponto de inflexão indica o nível de investimento (R$
) em que os retornos marginais em vendas passam de crescentes para decrescentes. Ou seja, até esse investimento cada milhar adicional aplicado gera um efeito cada vez maior nas vendas; acima dele, cada milhar extra traz ganho de vendas, mas em ritmo decrescente.
Resposta
O ponto de inflexão de
ocorre em
(milhares de reais), com
unidades vendidas. Economicamente, é o investimento a partir do qual os retornos marginais em vendas começam a diminuir.