Calcule f^prime(x): f(x)=ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=ln(x). Este é um caso clássico de diferenciação de logaritmos, e vamos usar a definição de derivada junto com a propriedade dos logaritmos.

Passo 2

Pela definição de derivada temos
f'(x)=limhto0ln(x+h)-ln(x)h

Passo 3

Usando ln(a)-ln(b)=ln!l(tfracabr), dá
f'(x) =limhto0ln!l(tfracx+hxr)h =limhto0ln!l(1+tfrachxr)h

Passo 4

Fazendo a troca de variável u=tfrachx, note que h=xu e quando hto0 vem uto0. Logo,
f'(x) =limuto0ln(1+u)xu =1xlimuto0ln(1+u)u =1xcdot1 =1x

Resposta

f'(x)=1x

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