Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
y=arcsec u,|u| >= 1
Rightarrow y^prime=u^prime|u| raizu^2-1,|u|>1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de , sendo diferenciável e . O conteúdo principal é usar a definição de em termos de e aplicar a regra da cadeia junto com a derivada de .

Passo 2

Para facilitar a derivação, escrevemos
pois quando .

Passo 3

Usando a regra da cadeia na função composta y=arccos(w) com w=1/u, temos
y' = ddxl[arccos(w)r] = -w'raiz1-w^2

Passo 4

Agora calculamos w'. Como w=1/u, usa-se a regra do quociente ou potência negativa:
w' = ddxl(u^-1r) = -u^-2,u' = -u'u^2
Substituindo em y':
y' = --,u'/u^2raiz1 - (1/u)^2 = u'u^2,raiz1 - 1/u^2

Passo 5

Dentro da raiz,
raiz1 - 1u^2 = raizu^2 - 1u^2 = raizu^2 - 1lvert urvert
Logo,
y' = u'u^2;lvert urvertraizu^2 - 1 = u'lvert urvert,raizu^2 - 1,
válido para lvert urvert>1.

Resposta

y'=u'lvert urvert,raizu^2-1,lvert urvert>1

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