Um tanque contém inicialmente 60 L de água pura. Água salgada contendo 1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 2 L / min, e a solução (perfeitamente homogênea) deixa o tanque a uma taxa de 3 L / min; o tanque está vazio depois de 1 hora.
(A) Ache a quantidade de sal no tanque depois de t minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 60 L de água pura, onde entra solução salina de concentração 1 kg/L a 2 L/min e sai solução homogênea a 3 L/min; após 60 min o tanque esvazia. O conteúdo é modelagem por equação diferencial de mistura, usando balanço de massa para a quantidade de sal A(t).

Passo 2

Definimos o volume interno em função do tempo como
V(t)=60 - t(L),
e a quantidade de sal A(t) em kg.
A taxa de entrada de sal é
entrada=1;l[kg/Lr]times 2;l[L/minr]=2;(kg/min)
A taxa de saída é a concentração interna tfracA(t)V(t) em kg/L vezes o fluxo de saída 3 L/min, ou seja
saída=A(t)60 - ttimes 3=3A(t)60 - t;(kg/min) í
Logo o balanço de massa dá
dAdt=2-3A60 - t

Passo 3

Essa é uma equação linear da forma dAdt+p(t)A=q(t) com
p(t)=360 - t, q(t)=2
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integral 360 - t,dtr) =(60 - t)^-3
Multiplicando a equação por mu(t) vem
ddtl(A,(60 - t)^-3r) =2,(60 - t)^-3
Integrando em t:
A,(60 - t)^-3 =integral 2,(60 - t)^-3,dt + C =(60 - t)^-2+C

Passo 4

Multiplicando por (60 - t)^3 obtém-se
A(t)=(60 - t)+C,(60 - t)^3
Usando a condição inicial A(0)=0:
0=60 + Ccdot 60^3 Longrightarrow C=-13600

Passo 5

Substituindo C na expressão de A(t) resulta
A(t)=(60 - t)-(60 - t)^33600

Resposta

A(t)=(60 - t)-(60 - t)^33600

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