Um tanque contém inicialmente 60 L de água pura. Água salgada contendo 1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
, e a solução (perfeitamente homogênea) deixa o tanque a uma taxa de
; o tanque está vazio depois de 1 hora.
(A) Ache a quantidade de sal no tanque depois de t minutos.
(A) Ache a quantidade de sal no tanque depois de t minutos.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 60 L de água pura, onde entra solução salina de concentração 1 kg/L a 2 L/min e sai solução homogênea a 3 L/min; após 60 min o tanque esvazia. O conteúdo é modelagem por equação diferencial de mistura, usando balanço de massa para a quantidade de sal
.
Passo 2
Definimos o volume interno em função do tempo como
e a quantidade de sal
em kg.
A taxa de entrada de sal é
A taxa de entrada de sal é
A taxa de saída é a concentração interna
em kg/L vezes o fluxo de saída 3 L/min, ou seja
Logo o balanço de massa dá
Passo 3
Essa é uma equação linear da forma
com
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
vem
Integrando em
:
Passo 4
Multiplicando por
obtém-se
Usando a condição inicial
:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
resulta