Um tanque contém inicialmente 60 L de água pura. Água salgada contendo 1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 2 L / min, e a solução (perfeitamente homogênea) deixa o tanque a uma taxa de 3 L / min; o tanque está vazio depois de 1 hora.
(B) Qual a quantidade máxima de sal alcançada no tanque?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura onde a água salgada entra a 2 L/min com concentração de 1 kg/L e sai a 3 L/min. Inicialmente há 60 L de água pura. Em t=60 min o tanque esvazia. Vamos modelar o volume V(t) e a quantidade de sal S(t) por meio de uma equação diferencial.

Passo 2

Como há fluxo de entrada de 2 L/min e saída de 3 L/min, o volume satisfaz
V'(t)=2-3=-1,
com V(0)=60. Integrando, obtemos
V(t)=60-t

Passo 3

A quantidade de sal S(t) satisfaz
dSdt=underbrace1 kgLtimes 2 Lminentrada-underbraceS(t)V(t)times3 Lminsaída =2-3,S60-t í

Passo 4

Resolvendo a linear
S'+360-t,S=2,
usamos fator integrante mu=(60-t)^-3. Então
ddtl(S(60-t)^-3r) =2(60-t)^-3
Integrando,
S(60-t)^-3=(60-t)^-2+C
e, com S(0)=0, vem C=-tfrac13600. Logo
S=(60-t)-(60-t)^33600 =t(120-t)(60-t)3600

Passo 5

Para achar o máximo em 0<t<60, considere
f(t)=t(120-t)(60-t)
Derivando e igualando a zero,
f'(t)=7200-360t+3t^2=0 Longrightarrow t=60-20raiz3 (approx25,36 min)
Substituindo em S(t)=f(t)/3600,
Smax=48000raiz33600 =40raiz33 kg

Resposta

A quantidade máxima de sal é 40raiz33 kgapprox23,09 kg

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