Calcule: integral sec ^2(x) ln (tg(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec^2(x),lnl(tan(x)r),dx
Vamos usar duas ideias principais:
  1. A substituição u=tan(x), pois ddxtan(x)=sec^2(x).
  2. A técnica de integração por partes para integral ln(u),du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = tan(x), du = sec^2(x),dx
Isso transforma a integral em
integral sec^2(x),lnl(tan(x)r),dx = integral ln(u),du

Passo 3

Agora queremos calcular
integral ln(u),du
Aplicamos integração por partes: escolhemos
A = ln(u)Rightarrow dA = 1u,du, dB = duRightarrow B = u
Pela fórmula integral A,dB = A,B - integral B,dA, temos

Passo 4

integral ln(u),du = uln(u) - integral ucdot1u,du = uln(u) - integral 1,du = uln(u) - u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u=tan(x), obtemos
integral sec^2(x),lnl(tan(x)r),dx = tan(x),lnl(tan(x)r) - tan(x) + C

Resposta

tan(x),lnl(tan(x)r) - tan(x) + C

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