Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais) integral x^3+3(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função racional usando frações parciais. Temos que integrar:
integral x^3+3(x-1)^2 , dx
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é de grau 3 ( x^3) e o denominador é de grau 2 ( (x-1)^2). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de usar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir x^3 + 3 por (x - 1)^2.
Primeiro, escrevemos a divisão:
x^3 + 0x^2 + 0x + 3(x - 1)^2
Realizando a divisão, encontramos que:
x^3 + 3 = (x - 1)^2 cdot (x + 2x + 2) + (2x + 5)
Portanto:
x^3 + 3(x - 1)^2 = x + 2x + 2 + 2x + 5(x - 1)^2

Passo 4

Agora, vamos decompôr a parte fracionária 2x + 5(x - 1)^2 em frações parciais. Suponhamos que seja da forma:
2x + 5(x - 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x - 1)^2, temos:
2x + 5 = A(x - 1) + B
Vamos escolher um valor para x que facilite a resolução. Se x = 1:
2(1) + 5 = A(0) + B Rightarrow 7 = B
Agora, para encontrar A, podemos escolher outro valor para x, por exemplo, x = 0:
2(0) + 5 = A(-1) + 7 Rightarrow 5 = -A + 7 Rightarrow A = 2
Então, a decomposição fica:
2x + 5(x - 1)^2 = 2x - 1 + 7(x - 1)^2

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original:
x^3 + 3(x - 1)^2 = x + 2x + 2 + 2x - 1 + 7(x - 1)^2
Simplificando os termos polinomiais:
x^3 + 3(x - 1)^2 = 3x + 2 + 2x - 1 + 7(x - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (3x + 2 + 2x - 1 + 7(x - 1)^2) dx
Integrando cada parte:
  1. integral 3x , dx = 32x^2
  2. integral 2 , dx = 2x
  3. integral 2x - 1 , dx = 2 ln|x - 1|
  4. integral 7(x - 1)^2 , dx = -7x - 1

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
32x^2 + 2x + 2 ln|x - 1| - 7x - 1 + C
Onde C é a constante de integração.

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