Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função racional usando frações parciais. Temos que integrar:
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais e depois integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é de grau 3 (
) e o denominador é de grau 2 (
). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de usar as frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
Primeiro, escrevemos a divisão:
Realizando a divisão, encontramos que:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos decompôr a parte fracionária
em frações parciais. Suponhamos que seja da forma:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Vamos escolher um valor para
que facilite a resolução. Se
:
Agora, para encontrar
, podemos escolher outro valor para
, por exemplo,
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando os termos polinomiais:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada parte:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.