Calcule as seguintes integrais: (Trigonométricas e Potência de Trigonométricas) integral t g^5(x) sec ^7(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^5(x),sec^7(x),dx
O tópico é “integrais de potência de funções trigonométricas”. Vamos usar a técnica de separar um fator tan(x)sec(x) — cujo diferencial é d(sec x) — e reescrever o resto em função de sec(x).

Passo 2

Separe a parte tan^5(x)sec^7(x) como
tan^5(x),sec^7(x) =l(tan^4(x),sec^6(x)r),l(tan(x),sec(x)r)
Note que tan(x)sec(x),dx será nosso du e o fator tan^4(x)sec^6(x) ficará em termos de sec(x).

Passo 3

Use a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1 para reescrever
tan^4(x),sec^6(x) =l(sec^2(x)-1r)^2,sec^6(x)
Logo o integrando vira
l(sec^2(x)-1r)^2,sec^6(x),l(tan(x),sec(x)r),dx

Passo 4

Façamos a substituição
u = sec(x), du = sec(x),tan(x),dx
Então
integral tan^5(x),sec^7(x),dx =integral l(u^2-1r)^2,u^6,du

Passo 5

Expanda e integre termo a termo:
l(u^2-1r)^2,u^6 =u^6(u^4-2u^2+1) =u^10-2u^8+u^6,
integral (u^10-2u^8+u^6),du =u^1111-2cdotu^99+u^77+C
Voltando a x, temos
sec^11(x)11 -2,sec^9(x)9 +sec^7(x)7 + C

Resposta

integral tan^5(x),sec^7(x),dx =sec^11(x)11 -2,sec^9(x)9 +sec^7(x)7 + C

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