Calcule: integral e^xcos ^6(e^x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^xcos^6l(e^x+3r),dx
O conteúdo envolvido é mudança de variável para simplificar a composição e^x+3 e depois a integração de uma potência de secante, pois 1cos^6u=sec^6u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^x + 3,
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du = e^x,dx
Assim, e^x,dx = du.

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
integral sec^6(u),du

Passo 4

Para integrar integral sec^6u,du, escrevemos sec^6u = sec^4u;sec^2u e usamos a segunda substituição
t = tan u, dt = sec^2u,du
Como sec^4u = l(1+tan^2ur)^2 = (1+t^2)^2, a integral fica
integral (1+t^2)^2,dt

Passo 5

Expandindo e integrando termo a termo,
integral (1+2t^2+t^4),dt = t + 23t^3 + 15t^5 + C

Passo 6

Voltando a u e depois a x, temos t=tan u=tanl(e^x+3r). Portanto a antiderivada é
tanl(e^x+3r) + 23,tan^3l(e^x+3r) + 15,tan^5l(e^x+3r) + C

Resposta

tanl(e^x+3r) + 23tan^3l(e^x+3r) + 15tan^5l(e^x+3r) + C

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