Calcule as seguintes integrais: integral-pi^pi sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-pi^pisen(x),dx
Esse é um caso clássico de integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico. Vamos usar a propriedade de funções ímpares e também o Teorema Fundamental do Cálculo para confirmar.

Passo 2

Observamos que sen(x) é ímpar, pois
sen(-x) = -sen(x)
Para qualquer função ímpar f e intervalo simétrico [-a,a] vale
integral-a^a f(x),dx = 0,
pois as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 3

Pelo raciocínio do passo anterior, já podemos concluir que
integral-pi^pisen(x),dx = 0

Passo 4

Como alternativa, vamos calcular a primitiva e aplicar a regra de Barrow. Uma primitiva de sen(x) é
-cos(x)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
integral-pi^pisen(x),dx = l[-cos(x)r]-pi^pi = -cos(pi) ;-;l(-cos(-pi)r)

Passo 5

Como cos(pi) = -1 e cos(-pi)=cos(pi)=-1, temos
-cos(pi) - l(-cos(-pi)r) = -(-1) - l(-(-1)r) = 1 - 1 = 0

Resposta

0

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