Encontre f^prime(x) onde: f(x)=integral0^raizx e^t^2 d t

Passo 1

O enunciado define
f(x)=integral0^raizx e^t^2 , dt
e pede f'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivada de uma integral com limite variável) combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=raizx
para reescrever
f(x)=integral0^u(x) e^t^2 , dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é
f'(x)=e^u(x)^2,u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=x^1/2,
temos
u'(x)=tfrac12 x^-1/2=12raizx

Passo 4

Substituindo u(x)^2=(raizx)^2=x e u'(x)=12raizx em
f'(x)=e^u(x)^2,u'(x),
obtemos
f'(x)=e^xcdot12raizx

Resposta

f'(x)=e^x2raizx

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