Calcule as seguintes integrais:
(a) integral0^2 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^2 x(x^2+1)^3 dx. Aqui a gente tá trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas que envolvem polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Olha só, temos x^2 + 1 dentro do parêntese, que está sendo elevado à terceira potência, e também temos um x multiplicando tudo isso. Isso sugere que podemos usar u = x^2 + 1 como substituição.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
u = x^2 + 1 dudx = 2x du = 2x , dx
Perceba que temos um x , dx na integral original, então podemos resolver para x , dx:
x , dx = du2
Agora, substituímos u e x , dx na integral:
integral0^2 x(x^2+1)^3 dx = integralu(0)^u(2) u^32 du
Precisamos mudar os limites de integração de x para u. Quando x = 0:
u(0) = 0^2 + 1 = 1
E quando x = 2:
u(2) = 2^2 + 1 = 5
Então, a integral fica:
12 integral1^5 u^3 du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^3:
12 integral1^5 u^3 du = 12 [ u^44 ]1^5 = 18 [ u^4 ]1^5
Substituindo os limites:
18 (5^4 - 1^4) = 18 (625 - 1) = 18 times 624 = 78

Resposta

O valor da integral é 78.

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