Calcule: integral x cos (raiz1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x cosl(raiz1+x^2r),dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição que simplifique o argumento da função trigonométrica e depois, se necessário, aplicar integração por partes.

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = raiz1+x^2
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = xraiz1+x^2,dx = xu,dx Longrightarrow x,dx = u,du

Passo 3

Substituindo em integral x cos(raiz1+x^2),dx, temos
integral x cosl(raiz1+x^2r),dx = integral cos(u),l(x,dxr) = integral cos(u),(u,du) = integral ucos(u),du

Passo 4

Para calcular integral ucos(u),du, usamos integração por partes. Seja
U = u, dV = cos(u),du Longrightarrow dU = du, V = sin(u)
Então
integral ucos(u),du = U,V - integral V,dU = usin(u) - integral sin(u),du = usin(u) + cos(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u=raiz1+x^2, obtemos
integral x cosl(raiz1+x^2r),dx = raiz1+x^2;sinl(raiz1+x^2r) + cosl(raiz1+x^2r) + C

Resposta

boxedintegral x cosl(raiz1+x^2r),dx = raiz1+x^2;sinl(raiz1+x^2r) + cosl(raiz1+x^2r) + C

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