Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais) integral 5 x^2+20 x+6x^3+4 x^2+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 5x^2 + 20x + 6x^3 + 4x^2 + 4x , dx. O assunto aqui é Frações Parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 4x^2 + 4x. Podemos colocar x em evidência:
x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4)
Agora, vamos fatorar o trinômio x^2 + 4x + 4:
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Então, o denominador fatorado fica:
x(x + 2)^2

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 5x^2 + 20x + 6x(x + 2)^2 como uma soma de frações parciais. Assumimos a seguinte forma:
5x^2 + 20x + 6x(x + 2)^2 = Ax + Bx + 2 + C(x + 2)^2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x + 2)^2 para eliminar as frações:
5x^2 + 20x + 6 = A(x + 2)^2 + Bx(x + 2) + Cx
Agora, vamos expandir os termos à direita:
A(x^2 + 4x + 4) + Bx(x + 2) + Cx = A x^2 + 4A x + 4A + B x^2 + 2B x + C x
Juntando os termos semelhantes:
(A + B) x^2 + (4A + 2B + C) x + 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos graus dos termos do polinômio da esquerda com os da direita:
A + B = 5 4A + 2B + C = 20 4A = 6
Resolvendo a terceira equação:
4A = 6 Rightarrow A = 64 = 32
Substituindo A = 32 na primeira equação:
32 + B = 5 Rightarrow B = 5 - 32 = 72
Agora, substituindo A = 32 e B = 72 na segunda equação:
4 times 32 + 2 times 72 + C = 20 6 + 7 + C = 20 C = 20 - 13 C = 7

Passo 6

Com os valores encontrados A = 32, B = 72 e C = 7, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
5x^2 + 20x + 6x(x + 2)^2 = 32x + 72x + 2 + 7(x + 2)^2
Simplificando:
32x + 72(x + 2) + 7(x + 2)^2

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 32x , dx + integral 72(x + 2) , dx + integral 7(x + 2)^2 , dx
Integrando termo a termo:
  1. integral 32x , dx = 32 ln |x| + C1
  2. integral 72(x + 2) , dx = 72 ln |x + 2| + C2
  3. integral 7(x + 2)^2 , dx = 7-1 1x + 2 + C3 = -7x + 2 + C3

Passo 8

Juntando todas as integrais e as constantes de integração ( C = C1 + C2 + C3), temos:
32 ln |x| + 72 ln |x + 2| - 7x + 2 + C

Resposta

integral 5x^2 + 20x + 6x^3 + 4x^2 + 4x , dx = 32 ln |x| + 72 ln |x + 2| - 7x + 2 + C

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