Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . O assunto aqui é Frações Parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Agora, vamos fatorar o trinômio :
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos a seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir os termos à direita:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos graus dos termos do polinômio da esquerda com os da direita:
Resolvendo a terceira equação:
4A = 6 Rightarrow A = 64 = 32
Substituindo A = 32 na primeira equação:
32 + B = 5 Rightarrow B = 5 - 32 = 72
Agora, substituindo A = 32 e B = 72 na segunda equação:
4 times 32 + 2 times 72 + C = 20 6 + 7 + C = 20 C = 20 - 13 C = 7
Passo 6
Com os valores encontrados A = 32, B = 72 e C = 7, podemos escrever a decomposição em frações parciais: