Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R^2. Identificar os conjuntos abertos.
A=(x, y) in R^2 mid x^2-4 x+y^2<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente representar graficamente um conjunto no plano R^2 e identificar se ele é aberto. Estamos lidando com uma inequação quadrática na forma x^2 - 4x + y^2 < 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular essa inequação para descobrir que tipo de região ela define no gráfico e depois verificar se essa região é aberta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a inequação x^2 - 4x + y^2 < 0. Para isso, vamos completar o quadrado com relação ao termo x:
x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4
Então, substituindo de volta na inequação:
(x - 2)^2 - 4 + y^2 < 0 (x - 2)^2 + y^2 < 4

Passo 3

Agora, a inequação ficou mais clara: (x - 2)^2 + y^2 < 4. Isso representa um círculo com centro no ponto (2, 0) e raio 2. A desigualdade “ <” indica que estamos falando dos pontos dentro desse círculo, sem incluir a borda.

Passo 4

Para representar graficamente, desenhamos um círculo centrado em (2, 0) com raio 2. Todos os pontos que estão dentro desse círculo satisfazem a inequação x^2 - 4x + y^2 < 0. A borda do círculo, que seria definida por (x - 2)^2 + y^2 = 4, não está incluída no conjunto, devido ao sinal de desigualdade ser estrito ("<").

Passo 5

Agora, vamos identificar se o conjunto é aberto. Em termos de topologia, um conjunto é aberto se não inclui suas fronteiras. No nosso caso, os pontos na borda do círculo não fazem parte do conjunto, já que a inequação é estrita. Portanto, o conjunto A é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto A é o interior de um círculo com centro em (2, 0) e raio 2, representado pela inequação (x - 2)^2 + y^2 < 4. Além disso, A é um conjunto aberto porque não inclui a borda do círculo.

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