Representar graficamente os seguintes subconjuntos de
. Identificar os conjuntos abertos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente representar graficamente um conjunto no plano
e identificar se ele é aberto. Estamos lidando com uma inequação quadrática na forma
. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular essa inequação para descobrir que tipo de região ela define no gráfico e depois verificar se essa região é aberta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a inequação
. Para isso, vamos completar o quadrado com relação ao termo
:
Então, substituindo de volta na inequação:
Passo 3
Agora, a inequação ficou mais clara:
. Isso representa um círculo com centro no ponto
e raio
. A desigualdade “
” indica que estamos falando dos pontos dentro desse círculo, sem incluir a borda.
Passo 4
Para representar graficamente, desenhamos um círculo centrado em
com raio
. Todos os pontos que estão dentro desse círculo satisfazem a inequação
. A borda do círculo, que seria definida por
, não está incluída no conjunto, devido ao sinal de desigualdade ser estrito ("<").
Passo 5
Agora, vamos identificar se o conjunto é aberto. Em termos de topologia, um conjunto é aberto se não inclui suas fronteiras. No nosso caso, os pontos na borda do círculo não fazem parte do conjunto, já que a inequação é estrita. Portanto, o conjunto
é um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto
é o interior de um círculo com centro em
e raio
, representado pela inequação
. Além disso,
é um conjunto aberto porque não inclui a borda do círculo.