Calcule as seguintes integrais: integrale^e^2 ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integrale^e^2 ln(x),dx
O conteúdo é integração de função logarítmica, e vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Na integração por partes, temos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos
u = ln(x)e dv = dx,
pois a derivada de ln(x) é simples e a antiderivada de dx também.

Passo 3

Calculamos
du = 1x,dx, v = integral dv = integral dx = x
Logo,
integral ln(x),dx = xln(x) - integral xcdot1x,dx = xln(x) - integral 1,dx = xln(x) - x + C

Passo 4

Agora avaliamos xln(x)-x entre x=e e x=e^2:
l[xln(x)-xr]e^e^2 = l(e^2ln(e^2) - e^2r) - l(eln(e) - er)
Usando ln(e^2)=2 e ln(e)=1, obtemos
(2e^2 - e^2) - (e - e) = e^2 - 0 = e^2

Resposta

integrale^e^2 ln(x),dx = e^2

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