Calcule: integral cos (arctg(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cosl(arctg(x)r),dx
O conteúdo principal envolve usar uma identidade trigonométrica para converter essa expressão numa forma padrão de integral.

Passo 2

Defina theta = arctg(x). Num triângulo retângulo com ângulo theta, o cateto oposto vale x, o adjacente vale 1 e a hipotenusa vale raiz1+x^2. Assim
cosl(arctg(x)r)=costheta=adjacentehipotenusa =1raiz1+x^2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral cosl(arctg(x)r),dx = integral 1raiz1+x^2,dx
Essa última é uma integral padrão cujo resultado é a função arco–hiperbólica inversa.

Passo 4

Usando a fórmula
integral dxraiz1+x^2 =arcsinh(x)+C,
concluímos que
integral cosl(arctg(x)r),dx =arcsinh(x)+C

Passo 5

Opcionalmente, podemos reescrever arcsinh(x) em forma logarítmica:
arcsinh(x) =ln!l(x+raiz1+x^2r)

Resposta

integral cosl(arctg(x)r),dx =arcsinh(x)+C =ln!l(x+raiz1+x^2r)+C

Exercícios relacionados