PRIMEIRA PROVA - P1

Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas

Calcule a integral
integral 4 sen^2(pi x / 2) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral de 4 sin^2(pi x2) em relação a x. Isso tá na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar sin^2 antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma sin^2(theta) em termos de cos(2theta). A identidade é:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Isso facilita a integração porque agora temos uma expressão mais simples.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral:
integral 4 sin^2(pi x2) dx = 4 integral 1 - cos(2 cdot pi x2)2 dx
Simplificando dentro da integral:
4 integral 1 - cos(pi x)2 dx = 2 integral (1 - cos(pi x)) dx

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
2 integral 1 , dx - 2 integral cos(pi x) , dx
Integrando cada termo:
  1. integral 1 , dx = x
  2. integral cos(pi x) , dx = sin(pi x)pi

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais:
2x - 2 cdot sin(pi x)pi + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
2x - 2pi sin(pi x) + C

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