Determine f(4) se integral0^x^2 f(t) d t=x cos (pi x8).

Passo 1

O enunciado nos dá
integral0^x^2f(t),dt = xcos!l(pi x8r)
e pede f(4). Aqui vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia para diferenciar em relação a x e, em seguida, relacionar f(x^2) com essa derivada.

Passo 2

Defina
F(x)=integral0^x^2f(t),dt
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
F'(x)=fl(x^2r)cdotddx(x^2) =2x,fl(x^2r)
Por outro lado, como
F(x)=xcos!l(pi x8r),
temos
F'(x) =ddxl[xcos!l(tfracpi x8r)r] =cos!l(pi x8r) +xcdotgl(-sin!l(pi x8r)cdotpi8gr) =cos!l(pi x8r) -pi x8,sin!l(pi x8r)

Passo 3

Igualando as duas expressões para F'(x), obtemos
2x,fl(x^2r) =cos!l(pi x8r) -pi x8,sin!l(pi x8r)
Logo, para xneq0,
fl(x^2r) =12xgl[ cos!l(pi x8r) -pi x8,sin!l(pi x8r) gr]

Passo 4

Queremos f(4). Como x^2=4 implica x=2 (considerando x>=0), substituímos x=2 em cima:
f(4) =12cdot2gl[ cos!l(picdot28r) -picdot28,sin!l(picdot28r) gr]
Note que picdot28=pi4 e
cos(pi/4)=sin(pi/4)=raiz22. Assim,
f(4) =14gl[ raiz22 -pi4,raiz22 gr] =raiz28l(1-tfracpi4r) =raiz2,(4-pi)32

Resposta

f(4)=raiz2,(4-pi)32

Exercícios relacionados