Exprima a solução geral de cada uma das equaçőes seguintes como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial
usando séries de potência em torno de
. O conteúdo que vamos usar aqui é Séries de Potência para resolver equações diferenciais. Precisamos lembrar como representar funções como séries de potências, calcular derivadas dessas séries e substituir na equação original para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Distribuindo
na segunda derivada:
Simplificando os índices para todas as séries terem
, ajustamos os somatórios.
Passo 6
Após ajustar os índices, temos:
Passo 7
Agora, agrupamos todos os termos na forma
. Isso significa que o coeficiente de cada
deve ser igual a zero:
Passo 8
Simplificando a equação para encontrar uma relação de recorrência para
:
Isolando
:
Passo 9
Para encontrar a solução geral, precisamos dos coeficientes iniciais
e
. Esses serão parâmetros livres na solução:
-
é o termo constante. -
é o coeficiente de .
Usando a relação de recorrência, podemos expressar todos os
em fun�o de
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada como série de potências em torno de
é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.