Exprima a solução geral de cada uma das equaçőes seguintes como uma série de potências em torno do ponto x=0.
(2 x^2+1) y^prime prime+2 x y-18 y=0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial (2x^2 + 1)y'' + 2xy' - 18y = 0 usando séries de potência em torno de x = 0 . O conteúdo que vamos usar aqui é Séries de Potência para resolver equações diferenciais. Precisamos lembrar como representar funções como séries de potências, calcular derivadas dessas séries e substituir na equação original para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y pode ser escrita como uma série de potências em torno de x = 0 :
y = sumn=0^infty an x^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de y :
y' = sumn=1^infty n an x^n-1
y'' = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Vamos substituir y , y' e y'' na equação diferencial original:
(2x^2 + 1)( sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 ) + 2x ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) - 18 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0

Passo 5

Distribuindo (2x^2 + 1) na segunda derivada:
2x^2 sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Simplificando os índices para todas as séries terem x^n , ajustamos os somatórios.

Passo 6

Após ajustar os índices, temos:
sumn=0^infty [2(n+2)(n+1) an+2] x^n + sumn=0^infty [(n+2)(n+1) an+2] x^n + sumn=0^infty [2(n+1) an+1] x^n - 18 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 7

Agora, agrupamos todos os termos na forma sumn=0^infty (coeficiente) x^n = 0 . Isso significa que o coeficiente de cada x^n deve ser igual a zero:
[2(n+2)(n+1) an+2 + (n+2)(n+1) an+2 + 2(n+1) an+1 - 18an] = 0

Passo 8

Simplificando a equação para encontrar uma relação de recorrência para an+2 :
(3(n+2)(n+1)) an+2 + 2(n+1) an+1 - 18an = 0
Isolando an+2 :
an+2 = 18an - 2(n+1) an+13(n+2)(n+1)

Passo 9

Para encontrar a solução geral, precisamos dos coeficientes iniciais a0 e a1 . Esses serão parâmetros livres na solução:
  • a0 é o termo constante.
  • a1 é o coeficiente de x .
Usando a relação de recorrência, podemos expressar todos os an em funç��o de a0 e a1 .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada como série de potências em torno de x = 0 é:
y = a0 ( 1 + 186x^2 + cdots ) + a1 ( x + -26x^3 + cdots )
onde a0 e a1 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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