Calcule partial fpartial x e partial fpartial y para:
f(x, y)=e^x-y-e^y-x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede: precisamos calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y para a função f(x, y) = e^x - y - e^y - x. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde analisamos como a função muda em relação a cada uma das variáveis mantendo a outra constante. Para resolver, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e tratar cada variável de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x, ou seja, partial fpartial x. Isso significa que vamos derivar a função f em relação a x, considerando y como uma constante.
A função é:
f(x, y) = e^x - y - e^y - x
Derivando cada termo em relação a x:
  • A derivada de e^x - y em relação a x é e^x - y, porque a derivada de e^u em relação a x é e^u cdot dudx, e aqui ddx(x - y) = 1.
  • A derivada de -e^y - x em relação a x é -e^y - x cdot (-1) = e^y - x, já que ddx(y - x) = -1.
Portanto:
partial fpartial x = e^x - y + e^y - x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y, ou seja, partial fpartial y. Isso significa que vamos derivar a função f em relação a y, considerando x como uma constante.
Derivando cada termo em relação a y:
  • A derivada de e^x - y em relação a y é e^x - y cdot (-1) = -e^x - y, porque ddy(x - y) = -1.
  • A derivada de -e^y - x em relação a y é -e^y - x cdot 1 = -e^y - x, já que ddy(y - x) = 1.
Portanto:
partial fpartial y = -e^x - y - e^y - x

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = e^x - y + e^y - x
e
partial fpartial y = -e^x - y - e^y - x

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