Determine a área da parte do cone z=raizy^2+x que se encontra entre o plano y=x o cilindro y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície
z = raizy^2 + x
que fica limitada pelas superfícies verticais y = x e y = x^2. O conteúdo é cálculo de área de superfície via projeção no plano xy. Vamos usar a fórmula
A = integral duplaD raiz1 + l(partial zpartial xr)^2 + l(partial zpartial yr)^2,dA,
onde D é a projeção da região sobre o plano xy.

Passo 2

Precisamos encontrar D. As curvas y = x e y = x^2 se intersectam em x^2 = x, ou seja x=0 e x=1. Para 0<= x<=1 tem x^2<= y<= x. Note que nesse trecho y>=0, então raizy^2=y. Logo
D = l(x,y): 0<= x<=1,;x^2<= y<= xr

Passo 3

Na região D a superfície vale
z = x + y
Calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial x = 1, partial zpartial y = 1
Logo o fator de área é
raiz1 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 4

Assim a área é
A = integral duplaD raiz3,dA = raiz3 integral duplaD dA = raiz3 integralx=0^1!!integraly=x^2^x dy,dx

Passo 5

Calculando a área planar de D:
integral0^1(x - x^2),dx = l[tfracx^22 - tfracx^33r]0^1 = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16

Passo 6

Portanto
A = raiz3,16 = raiz36

Resposta

raiz36

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