Calcule
integral-infty^infty d x(x^2+2^2)(x^2+3^2)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral impropria
integral-infty^inftydx(x^2+2^2)(x^2+3^2),
que é uma função racional par. Para resolver vamos usar decomposição em frações parciais e a fórmula padrão
integral-infty^inftydxx^2+a^2=pia

Passo 2

Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes em e termo constante vem o sistema
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda:

Passo 3

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integral-infty^inftydx(x^2+4)(x^2+9) =15integral-infty^inftydxx^2+4 -15integral-infty^inftydxx^2+9
Usando integral-infty^inftydxx^2+a^2=pia com a=2 e a=3, obtemos
integral-infty^inftydxx^2+4=pi2, integral-infty^inftydxx^2+9=pi3

Passo 4

Substituindo esses resultados:
integral-infty^inftydx(x^2+4)(x^2+9) =15l(pi2-pi3r) =pi5cdot16 =pi30

Resposta

pi30

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