Dada uma sequência de números complexos x[n], também denominada sinal discreto, definimos a função
X(z)=sumn=-infty^n=infty x[n] z^-n
Suponha que X é convergente no anel R1<|z|<R2. Essa soma é chamada de Transformada z de x[n]. A região em que essa função é convergente é usualmente chamada de Região de Convergência (ROC). Quando ela contém o círculo unitário, o sistema é dito estável. É possível usar as fórmulas para os coficientes das séries de Laurent de um sistema estável para recuperar a sequência que o originou:
x[n]=12 pi cdot integralpi^pi X(e^i theta) e^i n theta d theta
Encontre o sinal discreto x[n] que tem como transformada- Z a função
X(z)=log (1+alpha z^-1)
para |z|>|alpha|.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de variável complexa
X(z)=logl(1+alpha z^-1r)
com região de convergência |z|>|alpha| e pede o sinal discreto x[n] cuja transformada- Z é X(z). Vamos usar a série de Laurent (ou série de Taylor em z^-1) de log(1+w) para inverter a transformada.

Passo 2

Recordando a expansão válida para |w|<1:
log(1+w)=sumk=1^infty(-1)^,k+1,w^kk
Essa expansão converge sempre que |w|<1.

Passo 3

Tomando w=alpha z^-1, temos |w|=|alpha|/|z|<1 exatamente na região |z|>|alpha|. Então
X(z) =logl(1+alpha z^-1r) =sumk=1^infty(-1)^,k+1,(alpha z^-1)^kk =sumk=1^infty(-1)^,k+1,alpha^kk;z^-k

Passo 4

Por definição de transformada- Z,
X(z)=sumn=-infty^inftyx[n],z^-n
Comparando com o somatório acima, vemos que os únicos termos não nulos ocorrem para n=k>=1. Portanto:
  • Para n=0 não há termo constante, logo x[0]=0.
  • Para n<0 não há potências positivas de z, logo x[n]=0.
  • Para n>=1 o coeficiente de z^-n é
x[n]=(-1)^,n+1,alpha^nn

Resposta

x[n]= (-1)^n+1,dfracalpha^nn,&n>=1,[6pt] 0,&n<=0 ]

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