Dada uma sequência de números complexos
, também denominada sinal discreto, definimos a função
Suponha que
é convergente no anel
. Essa soma é chamada de Transformada
de
. A região em que essa função é convergente é usualmente chamada de Região de Convergência (ROC). Quando ela contém o círculo unitário, o sistema é dito estável. É possível usar as fórmulas para os coficientes das séries de Laurent de um sistema estável para recuperar a sequência que o originou:
Encontre o sinal discreto
que tem como transformada-
a função
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de variável complexa
com região de convergência
e pede o sinal discreto
cuja transformada-
é
. Vamos usar a série de Laurent (ou série de Taylor em
) de
para inverter a transformada.
Passo 2
Recordando a expansão válida para
:
Essa expansão converge sempre que
.
Passo 3
Tomando
, temos
exatamente na região
. Então
Passo 4
Por definição de transformada-
,
Comparando com o somatório acima, vemos que os únicos termos não nulos ocorrem para
. Portanto:
- Para
não há termo constante, logo . - Para
não há potências positivas de , logo . - Para
o coeficiente de é