Nos exercícios 21-30, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para esboçar a região de integração no plano
e inverter a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas; vamos precisar identificar a região
e depois reescrevê-la trocando primeiro
e
.
Passo 2
Para desenhar
, note que
varia de
a
(reta horizontal no eixo
) e, para cada
,
vai de
até a curva
que é uma parábola voltada para a esquerda, interceptando o eixo
em
(quando
) e tocando o eixo
em
(quando
). Assim,
é a região limitada acima pelo eixo
, abaixo pela reta
e à direita pela parábola
.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
sobre o eixo
. O menor valor de
em
é
e o maior é
. Então
Agora, para um
fixo nessa faixa,
satisfaz a desigualdade da parábola:
pois
e
.
Passo 4
Com esses limites, a integral original
torna-se, invertendo a ordem,