Nos exercícios 21-30, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^2 integral0^4-y^2 y d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^2integral0^4 - y^2 y ,dx,dy
e pede para esboçar a região de integração no plano xy e inverter a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas; vamos precisar identificar a região
R = (x,y)mid 0<= y<= 2,;0<= x<= 4 - y^2
e depois reescrevê-la trocando primeiro y e x.

Passo 2

Para desenhar R, note que y varia de 0 a 2 (reta horizontal no eixo y) e, para cada y, x vai de 0 até a curva
x = 4 - y^2,
que é uma parábola voltada para a esquerda, interceptando o eixo x em x=4 (quando y=0) e tocando o eixo y em y=2 (quando x=0). Assim, R é a região limitada acima pelo eixo y=0, abaixo pela reta y=2 e à direita pela parábola x=4-y^2.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R sobre o eixo x. O menor valor de x em R é 0 e o maior é 4. Então
0 <= x <= 4
Agora, para um x fixo nessa faixa, y satisfaz a desigualdade da parábola:
0 <= y <= raiz4 - x,
pois y^2<= 4-x e y>=0.

Passo 4

Com esses limites, a integral original
integraly=0^2integralx=0^4-y^2 y ,dx,dy
torna-se, invertendo a ordem,
integralx=0^4integraly=0^raiz4 - x y ,dy,dx

Resposta

integral0^4integral0^raiz4 - x y ,dy,dx

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