Calcule
integral0^2 pi cos 2 theta5-4 cos theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^2pi cos(2theta)5 - 4costheta,dtheta
O conteúdo usado será a expansão em série de Fourier da função thetamapsto1/(a-bcostheta) para a>b>0, aproveitando a ortogonalidade de cos(ntheta).

Passo 2

Recordando a expansão válida para a>b>0:
1a - bcostheta =1raiza^2-b^2l[,1+2sumn=1^inftyl(ba+raiza^2-b^2r)^ncos(ntheta)r]

Passo 3

No nosso caso a=5, b=4, logo raiza^2-b^2=raiz25-16=3 e
ba+raiza^2-b^2 =45+3=12
Assim
15-4costheta =13l[,1+2sumn=1^inftyl(tfrac12r)^ncos(ntheta)r]

Passo 4

Multiplicando por cos(2theta) e integrando de 0 a 2pi:
I=13l[integral0^2picos(2theta),dtheta +2sumn=1^inftyl(tfrac12r)^nintegral0^2picos(2theta)cos(ntheta),dthetar]
A primeira integral vale zero porque cos(2theta) tem média nula em um período.

Passo 5

Pela ortogonalidade de cossenos, integral0^2picos(2theta)cos(ntheta),dtheta só é não nula para n=2, e nesse caso vale
integral0^2picos^2(2theta),dtheta=pi
Logo o único termo que sobra é para n=2:
I=13;2l(tfrac12r)^2pi =13cdotpi2 =pi6

Resposta

pi6

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