Determine o número de zeros de g(z)=z^4-7 z+1 dentro do disco |z|<2.

Passo 1

O enunciado pede o número de zeros de g(z)=z^4-7z+1 dentro do disco lvert zrvert<2. Para isso, vamos usar o Teorema de Rouché, que compara dois holomorfos no contorno de uma região.

Passo 2

No círculo lvert zrvert=2, separamos
f(z)=z^4
e
h(z)=-7z+1
Calculamos
lvert f(z)rvert = lvert zrvert^4 = 2^4 = 16,
lvert h(z)rvert <= 7cdot2 + 1 = 15
Portanto, em todo o contorno lvert zrvert=2 vale
lvert f(z)rvert > lvert h(z)rvert

Passo 3

Pelo Teorema de Rouché, f(z) e f(z)+h(z)=g(z) têm o mesmo número de zeros dentro de lvert zrvert<2. Como f(z)=z^4 tem quatro zeros (em z=0, contados com multiplicidade), segue que g(z) também tem quatro zeros nesse disco.

Resposta

4

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