Nos exercícios 21-30, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^ln 2 integrale^x^2 d x d y

Passo 1

Nesse exercício, temos a integral dupla dada por
integral0^ln 2integrale^x^2dy,dx
O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas. Vamos precisar entender a região de integração no plano xy e depois descrever essa mesma região invertendo a ordem de varredura.

Passo 2

O primeiro passo para inverter a ordem é esboçar a região R definida por
0<= x<= ln 2, e^x<= y<= 2
No gráfico, a curva limite inferior é y=e^x, a reta horizontal superior é y=2, e as retas verticais são x=0 e x=ln 2. Em x=0, e^0=1, e em x=ln2, e^ln2=2. Assim R fica entre y=1 e y=2, a leste da reta x=0 e a oeste da curva x=ln y.

Passo 3

Para inverter a ordem, observe que y varia entre o mínimo y=1 (quando x=0) e o máximo y=2. Para um dado y fixo em [1,2], o valor de x percorre de x=0 até a curva x=ln y. Logo, a integral equivalente com ordem invertida é
integraly=1^2integralx=0^ln ydx,dy

Resposta

integral1^2integral0^ln ydx,dy

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