Isso é uma fração racional própria (grau do numerador é 2 e do denominador é 3). Vamos usar a técnica de frações parciais, o que exige primeiro fatorar o denominador.
Passo 2
Fatoramos o polinômio do denominador por agrupamento:
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando em ambos os lados por
Expandindo e coletando termos em , e termo constante:
Igualando coeficientes:
Da primeira equação e . Portanto
Passo 4
Separamos a integral:
integral x^2-x-212x^3-x^2+8x-4,dx = integral -52x-1,dx + integral 3xx^2+4,dx + integral 1x^2+4,dx
Passo 5
Calculamos cada integral:
integral -52x-1,dx = -5cdot12lnl|2x-1r| = -tfrac52lnl|2x-1r|
integral 3xx^2+4,dx = tfrac32integral 2xx^2+4,dx = tfrac32lnl(x^2+4r)
integral 1x^2+4,dx = 12arctan!l(tfracx2r)
Somando tudo:
integral x^2-x-212x^3-x^2+8x-4,dx = -tfrac52lnl|2x-1r| + tfrac32lnl(x^2+4r) + tfrac12arctan!l(tfracx2r) + C
Resposta
-52lnl|2x-1r| + 32lnl(x^2+4r) + 12arctan!l(tfracx2r) + C