Calcule:
integral x^2-x-212 x^3-x^2+8 x-4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2-x-212x^3-x^2+8x-4,dx
Isso é uma fração racional própria (grau do numerador é 2 e do denominador é 3). Vamos usar a técnica de frações parciais, o que exige primeiro fatorar o denominador.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador por agrupamento:
2x^3-x^2+8x-4 = (2x^3-x^2) + (8x-4) = x^2(2x-1) + 4(2x-1) = (2x-1)(x^2+4)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando em ambos os lados por
Expandindo e coletando termos em , e termo constante:
Igualando coeficientes:
Da primeira equação e . Portanto

Passo 4

Separamos a integral:
integral x^2-x-212x^3-x^2+8x-4,dx = integral -52x-1,dx + integral 3xx^2+4,dx + integral 1x^2+4,dx

Passo 5

Calculamos cada integral:
  1. integral -52x-1,dx = -5cdot12lnl|2x-1r| = -tfrac52lnl|2x-1r|
  2. integral 3xx^2+4,dx = tfrac32integral 2xx^2+4,dx = tfrac32lnl(x^2+4r)
  3. integral 1x^2+4,dx = 12arctan!l(tfracx2r)
Somando tudo:
integral x^2-x-212x^3-x^2+8x-4,dx = -tfrac52lnl|2x-1r| + tfrac32lnl(x^2+4r) + tfrac12arctan!l(tfracx2r) + C

Resposta

-52lnl|2x-1r| + 32lnl(x^2+4r) + 12arctan!l(tfracx2r) + C

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