Calcule:
integral 3 x^3-18 x^2+29 x-4(x+1)(x-2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral 3x^3-18x^2+29x-4(x+1)(x-2)^3,dx
Este é um caso de integração de função racional. Vamos usar decomposição em frações parciais para reescrever o integrando como soma de termos mais simples.

Passo 2

Escrevemos
3x^3-18x^2+29x-4(x+1)(x-2)^3 = Ax+1+Bx-2+C(x-2)^2+D(x-2)^3
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-2)^3 obtemos
3x^3-18x^2+29x-4 = A(x-2)^3+B(x+1)(x-2)^2+C(x+1)(x-2)+D(x+1)

Passo 3

Para encontrar D, avalia em x=2:
3cdot2^3-18cdot2^2+29cdot2-4 = 6 = D,(2+1)=3D ;Longrightarrow;D=2
Para encontrar A, avalia em x=-1:
3(-1)^3-18(-1)^2+29(-1)-4 = -54 = A,(-1-2)^3=-27A ;Longrightarrow;A=2

Passo 4

Agora expandimos o lado direito e igualamos coeficientes para achar B e C. O resultado é
A=2, B=1, C=-3, D=2
Logo
3x^3-18x^2+29x-4(x+1)(x-2)^3 = 2x+1+1x-2-3(x-2)^2+2(x-2)^3

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 2x+1,dx = 2lnl|x+1r|, integral 1x-2,dx = lnl|x-2r|,
integral -3(x-2)^2,dx = -3integral (x-2)^-2dx = -3l(-tfrac1x-2r) = 3x-2,
integral 2(x-2)^3,dx =2integral (x-2)^-3dx =2cdot(x-2)^-2-2 =-1(x-2)^2

Resposta

boxed integral 3x^3-18x^2+29x-4(x+1)(x-2)^3,dx =2lnl|x+1r|+lnl|x-2r| +3x-2 -1(x-2)^2+C

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