Calcule:
integral 4 x^2+13 x-9x^3+2 x^2-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 4x^2 + 13x -9x^3 + 2x^2 -3x , dx. A gente vai usar o método de frações parciais, que é uma técnica pra quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar. Primeiro, vamos precisar fatorar o denominador pra facilitar essa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 2x^2 -3x. Podemos fatorar x em evidência:
x^3 + 2x^2 -3x = x(x^2 + 2x - 3)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 + 2x - 3. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
Então, o denominador fatorado fica:
x(x + 3)(x - 1)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos expressar a fração 4x^2 + 13x -9x(x + 3)(x - 1) como soma de frações parciais. Assumimos a forma:
4x^2 + 13x -9x(x + 3)(x - 1) = Ax + Bx + 3 + Cx - 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x + 3)(x - 1):
4x^2 + 13x -9 = A(x + 3)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 3)
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação.

Passo 5

Primeiro, expandimos cada termo:
A(x + 3)(x - 1) = A(x^2 + 2x - 3)
Bx(x - 1) = B(x^2 - x)
Cx(x + 3) = C(x^2 + 3x)
Agora, somamos todos os termos:
A(x^2 + 2x - 3) + B(x^2 - x) + C(x^2 + 3x)
Distribuindo:
A x^2 + 2A x - 3A + B x^2 - B x + C x^2 + 3C x
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(A + B + C)x^2 + (2A - B + 3C)x - 3A

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos lados esquerdo e direito da equação:
Para x^2:
A + B + C = 4
Para x:
2A - B + 3C = 13
Para o termo constante:
-3A = -9
Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar A, B e C.

Passo 7

Começamos pela última equação:
-3A = -9 Rightarrow A = 3
Agora, substituímos A = 3 nas duas primeiras equações:
  1. 3 + B + C = 4 Rightarrow B + C = 1
  2. 2(3) - B + 3C = 13 Rightarrow 6 - B + 3C = 13 Rightarrow -B + 3C = 7
Agora, temos um sistema com duas equações:
  1. B + C = 1
  2. -B + 3C = 7

Passo 8

Somamos as duas equações para eliminar B:
(B + C) + (-B + 3C) = 1 + 7
4C = 8 Rightarrow C = 2
Agora, substituímos C = 2 na primeira equação:
B + 2 = 1 Rightarrow B = -1

Passo 9

Então, os valores encontrados são:
A = 3
B = -1
C = 2
Agora, podemos reescrever a fração original usando esses valores:
4x^2 + 13x -9x(x + 3)(x - 1) = 3x + -1x + 3 + 2x - 1

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 3x - 1x + 3 + 2x - 1 ) dx = 3 integral 1x dx - integral 1x + 3 dx + 2 integral 1x - 1 dx
Sabemos que integral 1u du = ln|u|, então:
3 ln|x| - ln|x + 3| + 2 ln|x - 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 3 ln|x| - ln|x + 3| + 2 ln|x - 1| + C.

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