Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar o método de frações parciais, que é uma técnica pra quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar. Primeiro, vamos precisar fatorar o denominador pra facilitar essa divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar
em evidência:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos expressar a fração
como soma de frações parciais. Assumimos a forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação.
Passo 5
Primeiro, expandimos cada termo:
Agora, somamos todos os termos:
Distribuindo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos lados esquerdo e direito da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar
,
e
.
Passo 7
Começamos pela última equação:
Agora, substituímos
nas duas primeiras equações:
Agora, temos um sistema com duas equações:
Passo 8
Somamos as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 9
Então, os valores encontrados são:
Agora, podemos reescrever a fração original usando esses valores:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, então:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.