Calcule:
integral x^3-6 x^2+5 x-3x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral integral x^3-6x^2+5x-3x^2-1,dx. Para isso, vamos usar divisão de polinômios para decompor a função racional e depois técnicas de integração (logaritmos e frações parciais).

Passo 2

Fazendo a divisão de x^3-6x^2+5x-3 por x^2-1, obtemos quociente x-6 e resto 6x-9. Assim,
x^3-6x^2+5x-3x^2-1=x-6+6x-9x^2-1

Passo 3

A integral se separa em parte polinomial e parte fracionária. A parte polinomial é
integral(x-6),dx=x^22-6x

Passo 4

Na parte fracionária, note que 2x é derivada de x^2-1. Escrevemos
6x-9x^2-1=3cdot2xx^2-1-9cdot1x^2-1,
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integral6x-9x^2-1,dx=3integral2xx^2-1,dx-9integral1x^2-1,dx

Passo 5

Para o primeiro termo,
integral2xx^2-1,dx=ln|x^2-1|

Passo 6

Para o segundo, usamos frações parciais:
1x^2-1=12l(1x-1-1x+1r)
e portanto
integral1x^2-1,dx=12lnl|x-1x+1r|

Passo 7

Somando os resultados das partes polinomial e fracionária e usando propriedades de logaritmos para combinar termos, chegamos à expressão final.

Resposta

x^22-6x-32ln|x-1|+152ln|x+1|+C

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